Varianz

gebräuchlichste Maßzahl zur Charakterisierung der ⇡ Streuung einer theoretischen oder empirischen ⇡ Verteilung. Die V. ist ein nicht relativiertes ⇡ Streuungsmaß.

- 1. Ist X eine ⇡ Zufallsvariable, so bezeichnetvar X = E(X – EX)₂ = EX₂ – (EX)₂deren V. Bei einer diskreten Zufallsvariablen mit den Ausprägungen x_i, der ⇡ Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und dem ⇡ Erwartungswert EX ist die V. gemäß

zu ermitteln; analog ist bei stetigen Zufallsvariablen mittels ⇡ Integration zu verfahren.

- 2. Liegen n Ausprägungen x_i eines ⇡ metrischen Merkmals vor, so ist deren V., berechnet aus den ⇡ Urwerten,

wobei x̅ den Durchschnitt bezeichnet (⇡ arithmetisches Mittel).

- 3. Ist eine ⇡ klassierte Verteilung gegeben, dann ist die V. exakt als Summe der ⇡ internen Varianz (Binnenklassenvarianz) und der ⇡ externen Varianz (Zwischenklassenvarianz) zu bestimmen (⇡ Varianzzerlegung). Stehen die interne und externe V. nicht zur Verfügung, so wird die V. oft unter Verwendung der Klassenmitten x´_j und der ⇡ relativen Häufigkeiten p_j gemäß

approximativ bestimmt, wobei x̅´ der analoge Näherungswert für das arithmetische Mittel ist. Diese Näherung tendiert zu einem zu niedrigen Ausweis der V., da die interne V. mit 0 unterstellt wird.

- 4. Liegt ein Befund aus einem ⇡ uneingeschränkten Zufallsstichprobenverfahren vor, dann wird die Stichproben-V.

als ⇡ Schätzwert für die V. der ⇡ Grundgesamtheit verwendet, weil sie bessere Schätzeigenschaften als s₂ aufweist (bes. ⇡ Erwartungstreue). Zur einfacheren Berechnung der V. wird der ⇡ Verschiebungssatz angewendet, der oben jeweils die zweite Formel ergibt.